理论力学 第二节 静力学公理及常见约束
第二节 静力学公理及常见约束
2.1 静力学引言
- 建筑应用
- 分析事故原因
学习静力学的目的
- 直接解决工程实际问题；
- 为后续课程打基础，例如材料力学、结构力学、弹性力学、建筑力学、机械设计等。
- 解决工程应用中的实际问题
静力学中的几个基本概念
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刚体：在力的作用下，其内部任意两点间的距离始终保持不变的物体。
例如用手推动桌子时，桌子自身结构会发生微小变形，但是变形量对于我们研究的问题过小，所以这个桌子可以被视为刚体。
一个物体能否被视为刚体，与物体本身的绝对刚度没有关系，与我们所研究的问题有关。
例如一个网球，如果我们研究它的飞行轨迹和落点，它可以被视为刚体。如果我们研究的是击球的瞬间网球所发生的变形，那么要分析内部的受力情况，那么此时它应该被视作变形体。 -
力：物体间相互的机械作用，作用效果使物体的机械运动状态发生改变。
力有三要素：大小、方向、作用点
力是矢量，本课程用或来表示。 -
力系：由很多个力在一起组成的系统，或者说一群力。
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平衡：物体（系）相对惯性参考系（如地面）静止或作匀速直线运动。
静力学的任务
- 对物体进行受力分析
- 对力系进行等效替换（或简化）
- 建立各种力系的平衡条件，并求解未知力。
2.2 静力学五个公理
公理1 力的平行四边形法则
- 作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。
- 合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线确定
- 合力（合力的大小与方向）
- 亦可用力三角形求得合力矢
公理2 二力平衡条件
作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用在同一直线上，即 。
公理3 加减平衡力系原理
在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。
推理1 力的可传性
作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用推移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
例如推桌子，用手在后面推和在前面拉桌子，如果力的大小相同，那么作用效果不变。
对于在刚体上的力是滑动矢量，它的力的三要素为大小、方向和作用线。
推理2 三力平衡汇交定理
作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
公理4 作用和反作用定律
作用力和反作用力总是同时存在，同时消失，等值、反向、共线，作用在相互作用的两个物体上。
在画受力图时要注意此公理的应用。
公理5 刚化原理（针对变形体）
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。（反之不一定成立）
该公理给出了变形体在理论力学体系中的适用条件。
2.3 约束和约束反力
自由物体
空间位置不受限制的研究对象称为自由物体（简称为自由体）
- 气球的空间位置不受任何限制
- 气球为自由体
自由体的真实运动取决于作用在该物体上的力，称之为主动力
非自由体
空间位置受到限制的研究对象称为非自由体（简称为非自由体）
- 气球被限制在套筒中上下运动
- 气球为非自由体
约束
非自由体的运动（位移）所受到的限制称为约束，或者说，对非自由体的位移起限制作用的物体，称之为约束。
- 对气球位移起限制作用的套筒称为气球的约束
约束力
非自由体的真实运动是两种力共同作用的结果
- 主动力（气球的浮力）
- 约束对该物体的作用力：约束力或约束反力（套筒对气球的限制）
两类约束力
限制小球在套筒中的运动：理想约束力
不起这种限制作用：非理想约束力，例如气球与套筒间的摩擦力
理想约束：只考虑理想约束力的约束
小结
- 约束：对物体的位移起限制作用的物体。
- 约束反力：约束对被约束物体的作用力。也可称为被动力。
- 主动力：使物体产生运动或运动趋势的力。重力、风力、载荷力等
- 约束反力的大小是待定的，方向与该约束所能阻碍的位移方向相反，作用点为接触处。
2.4 工程中常见约束及约束力方向的确定
具有光滑接触表面的约束（光滑接触约束）
这类约束是指约束与被约束物体之间，虽然相互接触但是彼此是独立的，并且接触的表面被认为是光滑的，它不能够限制被约束物体沿约束物体表面切线的位移，只能约束沿法线并进入约束内部的位移，这个约束仅仅通过被约束物体的正压力来产生作用。
比如说沿着光滑表面滑动的滑块，它受到的约束力都是沿着约束表面垂直于被约束物体的。用更准确的语言表述：光滑接触约束，它所提供的约束力垂直于两个接触面的公切面，沿着公切面的法线方向，指向被约束物体的。
但是对于有些物体而言，比如两个啮合的齿轮，如果忽略摩擦力的话，两个接触面是互为光滑的。在考虑二维的情况下，那么它的约束力是垂直于二者的公切面方向，指向被约束物体的。比如说对于右边的齿轮来说，它受到下面齿轮的约束力，指向它自己。
总结
光滑支撑接触对物体的约束力，作用在接触处；方向沿接触处的公法线并指向受力物体，故称为法向约束力，用表示。
具体约束实例：可以忽略摩擦力的一般常见的接触约束。
由柔软的绳索、胶带或链条等构成的约束（柔索类约束）
我们知道柔索只能承受拉力，不能承受压力，所以说柔索这类的约束，它所提供的约束力为张力，一般用来表示
以皮带轮为例，假象将皮带切开，分为左右两部分，对于两部分来说，它们都受到向上下皮带的拉力，这些拉力都是沿着皮带的方向并且背向皮带轮。
总结
- 柔索对物体的约束力沿着柔索背向被约束物体。
- 皮带（链条）对轮的约束力沿轮缘的切线方向，为拉力。
光滑铰链约束（径向轴承、圆柱铰链、固定铰链支座等）
铰链是指用来连接两个构件，并允许二者之间做相对转动的一种机械装置。如果忽略摩擦力的影响的话，这样的铰链称之为光滑铰链。工程中铰链通常分为三类，径向轴承、圆柱铰链和固定铰链支座。
径向轴承（向心轴承）
它是通过一个带有圆筒的轴承来对转轴进行约束的装置。
约束特点：
- 轴在轴承孔内，轴被视为约束体、轴承孔为约束。
- 可以用简图来表示：圆孔代表轴承，被约束的轴只能在圆孔中转动，不能在圆孔中做任何移动。
约束力： - 当不计摩擦时，轴与孔在接触处为光滑接触约束——法向约束力。约束力作用在接触处，沿径向指向轴心。
- 当外界载荷变化时，接触顶会变，则约束力的大小与方向均有改变。
我们可用两个通过轴心的正交分力和来表示，注意这只是一种表示方法，实质还是一个力
光滑圆柱铰链
约束特点：由两个穿孔的构件和圆柱销钉组成，如剪刀
约束力
光滑圆柱铰链：亦为孔与轴的配合问题，与轴承一样，可用两个正交分力表示。
两组约束互为作用和反作用关系，即，
但是要注意，这两个构件之间并不是直接发生作用的，它们是通过销钉来传递的，所以一般情况下，我们将销钉和某个构件放在一起，不单独分析销钉的受力，如果要分析销钉的受力，需要将它单独取出。
固定铰链支座（也称固定铰支座）
它的组成与光滑圆柱铰链类似，只不过将其中一个构件换成固定支座形式，另一个被约束的构件只能做定轴转动。
约束特点：由径向轴承约束与地面或机架固定而成。
约束力：与圆柱铰链相同
小结
这三种约束（径向轴承、光滑圆柱铰链、固定铰支座），其约束特性相同，均为轴与孔的配合问题，都可称作光滑圆柱铰链。约束力一般用两个正交分力表示，但本质上是一个力。
其他类型约束
滚动支座约束
滚动支座就是可以随意滚动的铰链支座，它相当于在固定铰链支座的基础上，在支座与地面间装上光滑的滚轴而形成的。
约束特点：在前述固定铰支座与光滑固定平面之间装有光滑滚轴而成。它仅仅限制构件在竖直方向的位移，而不限制构件绕 支点的转动和在水平方向上的位移。
约束力：构件受到垂直于光滑面的约束力，可能是压力也可能是拉力。
滚动支座在实际工程中有广泛的应用，比如在桥梁的一端必须设计成滚动支座，这是为了让桥梁自由地伸缩从而防止因热胀冷缩所带来的破坏。
球铰链
它是由一个球和球壳组成的，构件可以连接在球体上，也可以连接在球壳上。
约束特点：通过球与球壳将构件连接，构件可以绕球心相对转动，但不能有任何移动。
约束力：当忽略摩擦时，球与球壳亦是光滑约束问题。约束力通过接触点，并指向球心，是一个不能预先确定的空间力。可用三个正交分力表示，本质是一个力。
工程中球铰链的应用有很多，比如换挡器，各种球节点等都属于球铰链约束类型。
止推轴承
它是由轴承和一个止推伐，因此它比径向轴承多了一个轴向的位移限制。
约束特点：止推轴承比径向轴承多一个轴向的位移限制。
约束力：比径向轴承多一个轴向的约束力，亦可有三个正交分力 。
小结
工程中的约束多种多样，有的还很复杂，分析起来需要专门的知识和经验，有时需要适当的简化和抽象化。后续的学习中还会陆续介绍。
手臂的约束：肩膀与手臂的关节为球铰链约束，手臂肘处的约束为光滑圆柱铰链约束，手腕处为两个并联的球铰链约束，手指为光滑圆柱铰链约束。
课后习题及解析
- 光滑铰链、球铰链、止推轴承这几种工程中的常见约束，虽然约束力可以用两个或者三个正交分力表示，但约束力本质上都是一个力。
错误，把止推轴承换成径向轴承才正确。止推轴承比径向轴承、光滑铰链和球铰链多了一个轴向的约束力。 - 光滑圆柱铰链中，销钉所串起来的两个构件它们所受到的约束力是一对作用力和反作用力，如果表示成正交分量的形式，则是两对作用力和反作用力。
错误 - 光滑铰链约束类型中包含径向轴承、光滑圆柱铰链、固定铰支座、光滑球铰链等
错误，不包含光滑球铰链。 - 控制门或者窗户开关的合页（蝶铰链）可以视作是一个光滑圆柱铰链约束。
正确 - 链条约束与皮带约束类似，约束力只能沿着链条的方向背离被约束的物体。
正确 - 滚动支座约束中，构件受到垂直于光滑面的支持力，约束结构的特点决定了其约束力的方向只能是垂直于接触面指向被约束物体。