平面任意力系

平面任意力系的简化

平面任意力系

力系中各力（偶）的作用线（面）处于同一平面且任意分布时，这样的力系称为平面任意力系。

武汉长江大桥，上下两个桥面的主桁架结构，它所受到的力可以近似地认为是两个平面任意力系。
哈尔滨松花江铁路桥，桥中两个主桁架所受到地内力和外力，都可以认为在这个桁架所在的平面内，构成了两个平面任意力系。

那么如何来对平面任意力系来进行简化呢？

力的平移定理

可以把作用在刚体上的点A的力$F$平行移动到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于运来的力$F$对新作用点B的矩。$M_B = M_B(F) = Fd$
证明：在刚体上A点作用有一个力$F$，利用加减平衡力系原理，我们可以在B点加上一个$F'$和$F''$，它们与$F$的大小相等，方向平行，这样就与力$F$构成了一个力偶，利用力偶的等效定理，可以用一个力偶的符号来表示，这样就相当于，将作用在A点的力平移到了B点，并且作用效果保持不变。

• 力的平移定理提供了将力在刚体内等效移动的方法。是任意力系简化的基础，在静力学中占有重要地位。

力的平移定理的应用实例

打乒乓球时，高手容易打出弧线球，这是因为在击球过程中，拍面的法线方向与击球法向存在很大的角度，更多的是依靠拍面与球的摩擦力来使其移动，利用力的平移定理，将摩擦力平移到乒乓球的球心，为了保持力的作用效果不变，需要加上一个力偶，大小等于摩擦力对球心的矩，这样使球沿着击球方向运动，而力偶使球产生旋转。

平面任意力系向作用面内一点简化 · 主矢和主矩

如图所示平面任意力系，将$F_1$平移到O点得到$F_1'$，大小不变，同时需要附加一个力偶$M_1=M_O(F_1)$，大小等于$F-1$对O点的矩。

依次将所有力如此处理，得到了一个平面汇交力系，而$M_1$到$M_n$构成了平面力偶系。

也就是说，平面汇交力系和一个平面力偶系可以等效地代替一个平面任意力系。而平面汇交力系可简化为一个合力$F_R$，而平面力偶系也可以进行合成，合成为一个合力偶。即
$F_R' = \sum F_i' = \sum F_i$
$M_O = \sum M_i = \sum M_O(F_i)$
我们不再把这个力叫做平面任意力系的合力，而是称之为平面任意力系向一点简化的主矢，即$F_R' = \sum F_i$。类似地，合力偶称为平面任意力系向一点简化的主矩，即$M_O = \sum M_O(F_i)$。

主矢和主矩是平面任意力系向一点简化的特征量，它们可以等效替换一个任意力系。
主矢在力系所在平面内，大小与简化中心无关。
主矩作用面也在力系所在平面内，大小一般与简化中心有关。
小结：平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶。力为力系的主矢，大小与简化中心无关，但作用线通过简化中心；力偶为力系对O点的主矩，作用点任意，但大小一般与简化中心有关。
主矢的计算方法一般和计算平面汇交力系的方法相同，采用解析法
$F_Rx' = \sum F_{ix}' = \sum F_{ix} = \sum F_x$
$F_Ry' = \sum F_{iy}' = \sum F_{iy} = \sum F_y$
主矢大小：$F_R' = \sqrt{(\sum F_{ix})^2 + (\sum F_{iy})^2}$
主矢方向：$cos(\vec F_R',i) = \frac{\sum F_{ix}}{F_R'} \quad cos(\vec F_R',j) = \frac{\sum F_{iy}}{F_R'}$
作用点：一般令其作用于简化中心上
主矩：$M_O = \sum M_O(F_i)$

平面任意力系向一点简化实例：固定端约束

埋入地下的电线杆，伸出楼面的阳台，正在车削的工件，舵机的按钮，钉在墙壁上挂东西的钉子。当他们受到来自同一个平面上的主动力时，其约束力就是一个典型的平面任意力系。这样的约束就称为平面固定端约束，它既限制了物体的移动，又限制了物体的转动。可以利用平面任意力系的简化理论，对这类约束问题进行简化求解。
为了求解这类问题，首先需要将约束端的受力进行简化，约束端的受力是个复杂并且未知的平面任意力系。不管这个力系如何复杂，我们总可以向一点，比如A点进行简化，得到一个力$F_A$和一个力偶$M_A$，可以用两个分量$F_{Ax}$和$F_{Ay}$表示，这样一来，这个复杂的任意力系可以用三个未知量来等效地替换。这样就可以很方便地求解。因此可以看来，平面固定端约束比光滑铰链约束多了一个限制的力偶。因此两个约束有本质的区别。

平面任意力系向一点简化的结果分析

第一种情况：一个平面任意力系向一点简化得到主矢$F_R'$和主矩$M_O$，当主矢$F_R'=0$而$M_O \not ={0}$表明简化的结果是个合力偶。如果不向O点简化，而是向平面内任意一点$O_1$简化，显然主矢仍然为$0$，因为主矢的大小与简化中心位置无关，所以向$O_1$点简化，结果仍然是一个力偶，那么主矩是多少呢？因为主矢为$0$所以平移后主矩的结果仍然是$M_O$，这表明在这种情况下，该力系向任意一点简化，所得到的力系仍然是相同的力系，也就是说这其实是是一个力偶系，与简化中心位置无关。所以平面力偶系是平面任意力系的特殊情形。
前面提到过，平面任意力系向一点简化，主矢的大小和简化中心无关，而主矩的大小和简化中心有关，但是在平面力偶系的情况下，主矩大小与简化中心无关。

第二种情况：一个平面任意力系向一点简化得到主矢$F_R'$和主矩$M_O$，当主矢$F_R' \not =0$而$M_O ={0}$表明简化的结果是个合力，作用线过简化中心。也就是说作用在O点的力$F_R'$与这个力系等效，那么这个合力是否一定要作用在O点？不是的，作用在刚体上的力具有平移性，也就是$F_R'$可以沿着它的作用线平移，不改变作用效果，仅仅要求它的作用线通过简化中心，作用点只要存在于刚体上即可。

第三种情况：一个平面任意力系向一点简化得到主矢$F_R'$和主矩$M_O$，当主矢$F_R' \not =0$而$M_O \not ={0}$，利用力偶的等效定理，我们可以用$F_R$和$F_R''$，其中$F_R$和$F_R''$的大小与主矢$F_R'$相等，方向平行，力偶臂$d = \frac{M_O}{F_R'}$，这样就将主矢和主矩等效替换成了三个力，其中$F_R'$和$F_R''$构成了一个平衡力系，由加减平衡力系原理，因此可以将这个平衡力系拿掉，就变成了单个的力$F_R$与这个力系等效，因此简化的结果仍然是一个合力，只不过作用线至简化中心有一定的距离，距离大小为$\frac{M_O}{|F_R'|}$。
其实主矩$M_O = F_Rd$，$F_R = F_R' = \sum F_i$，这阐述的就是合力矩定理，合力对某点的矩，等于所有分力对这一点矩的和。$M_O(F_R) = M_O = \sum M_O(F_i)$。
也就是说该情况简化为了作用线不过简化中心的合力。

第四种情况：一个平面任意力系向一点简化得到主矢$F_R'$和主矩$M_O$，当主矢$F_R' =0$而$M_O ={0}$，这表明了不需要任何力或者是力偶来与这个力系等效，表明这个力系自身就是平衡的，既然平衡的话，与简化中心的位置无关。

因此，平面任意力系简化的最后结果只能是合力、合力偶、平衡三种情况。

解：

1. 建如图所示坐标系，向O点简化。
   
   通过前面的分析我们知道，并不是一个任意力系向任意一点简化都能得到一个合力，只是在某些特殊的位置，结果才可能是一个合力。目前我们还不知道具体是哪一点，但是为了简单，我们可以首先将这个力系向O点简化，得到向这一点转化的主矢和主矩。
   力系中$F_2$比较特殊，首先我们确定$F_2$与$x$轴的夹角$\theta$，由几何关系可知
   $\theta = \angle ACB = arctan\frac{AB}{BC} = 16.7°$
   主矢的计算方法，先分别计算主矢在$x$轴和$y$轴上的投影
   $F_{Rx}' = \sum F_{ix} = F_1 - F_2cos\theta = 232.9kN$
   $F_{Ry}' = \sum F_{iy} = -P_1 - P_2 - F_2sin\theta = -670.1kN$
   主矢$F_R'$的大小为：$F_R' = \sqrt{(\sum F_{ix})^2 + (\sum F_{iy})^2} = 709.4kN$
   主矢的方向余弦分别算得：
   $cos(\vec F_R', \vec i) = \frac{\sum F_ix}{F_R'} = 0.3283$
   $cos(\vec F_R', \vec j) = \frac{\sum F_iy}{F_R'} = -0.9446$
   得到主矢与$x$轴正向夹角为$\alpha = 70.84°$，主矢与y轴负向的夹角为$\beta = 19.16°$
   

注意：在求力矩的时候，就要先看一个力绕作用点是顺时针还是逆时针，顺时针就是负的，逆时针就是正的。
主矩的大小 $M_O = \sum M_O(\bar F) = -3F_1-1.5P_1-3.9P_2 = -2355kN·m$
主矩为负值，表明主矩是顺时针的，这样力系向O点简化的主矢和主矩都求出来了。
2. 求合力及作用线位置
向O点简化得到的主矢和主矩可以进一步简化得到一个合力。这个合力的大小、方向与主矢是相同的，合力的作用线到O点的距离为
$d = \frac{|M_O|}{F_R'} = \frac{2355}{709.4} = 3.3197 m$
那么合力的作用线到O点的距离$x$由几何关系很容易得到
$x = \frac{d}{cos(90°-70.84°)} = 3.514 m$

3. 求合力作用线方程
合力显然可以沿着它的作用线上下移动，不管作用在哪个点，它的效果是一样的，它的力到O点的矩总是保持不变的，等于力系向O点简化的主矩，因此可由这个关系列出合力作用线方程

$M_O = \sum M_O(\bar F) = x·F_{Ry} - y·F_{Rx} = x·F{Ry}'-y·F{Rx}'$
即$-2355 = x(-670.1) - y(232.9)$
有$670.1x+232.9y-2355=0$

平面任意力系的平衡条件和平衡方程

如果刚体在一个平面任意力系的作用下平衡的话，平衡的条件是什么呢？

平面任意力系的平衡方程

由上一节平面任意力系的简化结果我们知道，平面任意力系的简化结果是一个主矢和一个主矩，但主矢和主矩同时为0时，这个力系平衡，并且与简化中心无关。也就是说力系平衡的话，向任意一点简化，都是相同的结果。
因此平面任意力系平衡的充要条件：力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。